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1=1+1?!这可能是数学史上最诡异的悖论

发布时间:2019-06-29 23:54 来源:未知 编辑:admin

  一个三维的球体,可以剖分成有限的若干块,用这些块可以完整地重新拼出两个与圆球体同等大小的球体。

  是不是已经有模友迫不及待地想知道到底是怎么回事呢?不要着急,在讲具体方法之前,超模君先讲两个例子,为后面更好地讲“分球悖论”做准备。

  有一间世界闻名的旅馆,名字叫希尔伯特旅馆。旅馆里有无数个房间,每个房间里都住了一个客人。一天,有一名新的客人来到了旅馆,要求入住。但是所有房间都满了,该怎么办呢?

  聪明的老板娘微微一笑,她让1号房间的客人住到2号房间,2号客人到3号房间……之后的客人都这么做。由于房间的数量是无限的,所以客人们都能够住到下一个房间中。就这样,1号房间空了出来,新客人也就心满意足地住进了1号房间当中。

  怎么样?是不是有点理解不能了?没关系,这个示例就只想告诉各位模友一件事:任何有限的数与无限做加减运算,其结果依然是无限。

  好了,离开希尔伯特旅馆,让我们再来看一本名叫超级韦氏字典的英语字典——这本字典包含了英语中所有的单词,只因为它的结构是这样的:

  这本字典的开头是A,然后是AA,接着是AAA……在无限多个A之后,是AB,然后ABA,接着ABAA……一直到条目为无限多个Z的序列。列表的话大概是这个样子:

  容易想象,这本字典是非常巨大的,但是出版商想节省原料,于是想出了这么一个办法:

  将所有以A开头的序列分为第一卷,在这卷里面,所有序列开头的A将会不再印刷在字典里面,因为读者在使用时自觉地加上A这个字母。

  但是出版商的这个做法,却产生了意想不到的效果:印在第一卷里面的序列,在省去A之后,这一卷依旧能够表示所有的单词!

  OK,请各位模友牢记这两个例子,接下来就是加速的时候了!(前方高能,不想烧脑的模友可以趁早撤退了)

  “分球悖论”最重要的部分,就是如何分割三维的球体,而我们选取的方法,就是让三维球体,变成一部超级韦氏字典。

  那如何让球体变成一部超级韦氏字典呢?首先,必须给整个球体上的点,起一个独一无二的名字。取名的方法如下:

  选择一个起点O,然后以适当的长度(arccos(1/3))作为单位长度,让O一步步地移动。

  移动的方向只有四个:上(U)、下(D)、左(L)、右(R)。O每向一个方向移动一步,就记录一步,直到O不动为止,所列出来的序列就是O停下时所在点P的名字。(注意,由于选择了适当的单位长度,故除非原路返回,否则任意两个序列不会走到除极点外的同一个点上。)

  例如,O向上移动了一步,那么点P1的名字就是U;O向上移动一步,再向右移动一步,那么点P2的名字就是RU。(注意,记录时书写顺序为从右到左,因为之后的步骤需要我们这么做。)

  当然,这种命名方法还有个规则:就是不能够存在“原路返回”的序列——UD、DU、LR、RL,因为这样相当于点O根本没动。

  但是用序列来代表点这样的方法有点太抽象了,有没有直观点的方法呢?我们可以来做这样一个分类:以最后一步为分类标准,将上述序列分成四类,每类分配一种颜色——U点(最后一步是向上走的点,下面的类推)为橙色、D点为蓝色、L点为紫色、R点为红色。

  按照上述方法,我们将这些序列标注在球面上,每个序列都会得到一个属于自己颜色的点:

  这样的点有可数无限个,但是却并不能占满整个球面——因为球面上有不可数无限个点。(不懂可数和不可数无限的模友可以去了解下康托尔的集合论)那问题来了,该怎么用这些序列来表示整个球面上的点呢?

  很简单,在没有涂色的点中,选一个新起点,然后将这些序列应用到新起点上,再给可数无限个点命名。重复这一过程,我们就可以将球面上所有点分成五类点:起点、U点、D点、L点、R点。

  按照之前的做法,我们分配颜色给这五类点:起点为绿色、U点为橙色、D点为蓝色、L点为紫色、R点为红色。

  你以为这样就分类完了?不不不,还有一类点隐藏在这五类点其中,它们有很多个名字,我们必须将它们剔除出来,免得出错。

  这类点的名字叫做极点。我们将这类点单独剔除出来,用黄色给它们来标上颜色。接下来,我们就可以来见证奇迹了!

  所谓的极点,就是某个点运动到这个点时,无论在序列中添加左右或者上下,都不会变成第二个点的点。对于以左右(LR)作结尾的序列而言,它们的极点是南北极点。当点运动到南北极点时,无论是向左旋转还是向右旋转(因为球面上点的移动的本质就是旋转),都不会产生新的点,但是在序列中却会产生新的序列,所以必须单独拿出来命名。上下(UD)结尾的序列的极点则是东西极点。

  现在球体上所有的点都被标上了6种颜色中的其中一种,按照颜色来分类,球体则可以被分成6部分:起点部分U点部分D点部分L点部分R点部分极点部分。因为每个点到球心的点列是独一无二的,所以只用点来代表就行。

  L点部分对应的序列为所有以L结尾的序列,如果将L点部分向右旋转一下,序列会发生怎样的变化呢?

  答案是:L点部分所对应的序列变成了U点、D点、L点、起点部分所对应的序列。

  前面说过,RL这样的序列是不允许出现的,所以所有序列的最后一个L都被抵消,但由于每个序列都是无限的,就好像超级韦氏字典第一卷那样,剩下的部分依旧可以构成代表U点、D点、L点部分的序列,而只有一个L的那些点,则因为被R抵消,还原回所有起点。

  只是旋转一下,我们就得到了球体的四个部分,那剩下的部分只需要用之前分离出来的R点部分和极点部分填上,以及把球心放进去,就是一个完整的球体了——而且还剩下这些东西:

  我们把U点部分向下转动,与前面向右旋转L点部分相类似,U点部分所对应的序列就会变成U、L、R点部分对应的序列,还有起点的序列。

  不要紧,把序列U所代表的点先行移到D点部分,然后再对整个U点部分进行旋转就行。可是我们会发现,先清除再旋转后的U点部分,序列UU会变成序列U,与D点部分中先行到达的序列U相重复,所以我们必须先将所有的重复排列U的序列全部先行移除,然后再旋转剩余部分,最后再组合,才能够得到一个仅包含U、L、R点部分的序列集。

  接下来的工作就很简单了,把剩余的部分全部组合在一起。诶?等等?你说剩余的极点部分和球心该怎么办?没关系,用希尔伯特旅馆的思想就可以解决。

  因为极点在球面上,所以可以想象,每个极点都在一个圆上,而且不会有多个极点在同一个圆上。而希尔伯特旅馆的例子告诉我们,一个拥有不可数无限个点的圆,上面少一个点,总可以找出另一个点来补充它的位置,因为点是无限多的。球心也可以被这样补充出来。

  那么,到目前为止,我们就成功地将一个球完美地分割成两个球啦!而且这两个新球,跟旧球是没有任何区别的哦!后排的模友,请让超模君看到你们欢呼的双手!

  其实,有关“分球悖论”的正确性,依旧是众说纷纭,因为它超出了我们日常生活的直观经验,也就是所谓的常识。

  但是,谁又能够说,常识就是真理呢?谁又能够说,我们所能触摸到的,就是这个世界的全部呢?

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